MIPA Singkat| Rumus - Rumus Reduksi !Trik GURU MIPA-Rumus matematika untuk tingkat dasar SD ,SMP ,SMA dan SMK , mungikin sebagian anak merasa sulit untuk mempelajarinya Materi Singkat Matematika Kimia Fisika terutama saat kelas 7 pertama. Karena dikelas itu ada peralihan anatara SD dan SMP mungkin sedikit banyaknya rumusnya banyak dilupakan untuk itu berbagai konsep bangun ruang lengkap dan perbandingan segitiga sin cos tan mungkin perlu anda pelajari lagi. Atau mungkin anak harus sedikit mengingat mengenai datar akar aljabar kuadrat aritmatika dan geometri pangkat , nah semua itu akan dibahas dan diulas lagi.
Untuk itu ada baiknya mari kita membuka lagi tentang algoritma rumusnya biar kita tidak kesulitan dalam mengikiti pejaran MIPA Singkat| Rumus - Rumus Reduksi !Trik GURU MIPA yang diberikan oleh bapak atau ibu guru. Dan memang bagi yang belum tahu cara mudah atau rumus singkatnya sering kali dibuat kesulitan untuk memahaninya. Padahal rumus itu bisa kita persingkat sesuai dengan istilah-istilah yang biasa kita temukan. Sebagai mana konsep bimbel yang sekarang ini lebih mengedepankan pemahaman logik sederhana sesuai dengan keaadan atau ruang linkup, sehingg anak lebih mudah dan senang dalam mempelajarinya.
Namun tahukan anda jika hal tersebut, mungkin jarang ditemukan di sekolah-sekolah formal yang mengajarkan rumus MIPA Singkat| Rumus - Rumus Reduksi !Trik GURU MIPA sesuai dengan cara interaktif murid dan pembingbing. Sering kali kita dibuat bingung karen banyaknya konsep yang jelimet atau rumit yang diajarkan. Nah disini kita akan membahasnya lebih mudah dan simpel, sesuai moto kami Rumus Mudah Dan Murah
Oke langsung saja kita bahasnya MIPA Singkat| Rumus - Rumus Reduksi !Trik GURU MIPA pembahasanya biar tidak bertele-tele, dan simaknya dibahwah ini:
Baca juga:
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS LAMPUNG
2009/2010
Rumus - rumus reduksi
Hasil pembelajaran:
Menerapkan integrasi per bagian dan membuat rumus reduksi
Menerapkan integrasi per bagian dengan menggunakan rumus reduksi
Menghitung integral-integral yang integrannya berbentuk sin ⁿ x dan cos ⁿ x dengan menggunakan rumus-rumus reduksi
1
Anda akan memakai integrasi per bagian ( integration by part ),sebagai berikut:
∫ u dv = u v - ∫ v du
2
Selesaikan soal di bawah ini :
∫ x ² e x dx =.....
∫ x² e ͯ dx = e ͯ [ x - 2x + 2 ] + C
Berikut ini adalah pengerjaannya.
∫ x ² e ͯ dx = x² ( e ͯ ) - 2 ∫ e ͯ x dx
= x² e ͯ - 2 [ x ( e ͯ ) - ∫ e ͯ dx ]
= x² e ͯ - 2 x e ͯ + 2 e ͯ + C
= e ͯ [x² - 2 x + 2] + C
3
Selesaikan soal di bawah ini :
∫ x ⁿ e ͯ dx =
I ⁿ = x ⁿ e ͯ - n I ⁿ -1
∫ x ⁿ e ͯ dx = x ⁿ ( e ͯ ) – n ∫ e ͯ x ⁿ -1 dx
= x ⁿ e ͯ – n ∫ e ͯ x ⁿ -1 dx
Jika kita tulis ∫ x ⁿ e ͯ dx sebagai I ⁿ
Maka kita dapat menyatakan ∫ e ͯ x ⁿ -1 dx sebaagai I ⁿ -1
Jika I ⁿ = ∫ x ⁿ e ͯ dx
Maka, I ⁿ= x ⁿ e ͯ - n I ⁿ -1
4
Tinjaulah ∫ x 2 e ͯ dx
= e ͯ [x 2 - 2x + 2 ] + C
Misalkan Iⁿ = ∫ x ⁿ e ͯ dx n = 2
Dimana Iⁿ = x ⁿ e ͯ - n.I ⁿ -1
Kita substitusikan integral tersebut,maka :
I ₂ = x² e ͯ - 2. I 1 dan
I ¹ = x² e ͯ - 1. I0
Jadi , I 0 = ∫ x 0 e ͯ dx + 1 e ͯ dx = ∫ e ͯ dx = e ͯ + C
Jadi I ₂ = x² e ͯ - 2. I 1
Dan I ¹ = xe ͯ - e ͯ + C 1
I ₂ = x² e ͯ - 2 x e ͯ + 2 e ͯ + C
= e ͯ [x² - 2 x+ 2 ]
5
The formula for succes is simp le: practice and concentration
then more practice and more concentration. (Rumus keberhasilan
adalah simpel, yaitu praktik dan konsentrasi kemudian
meningkatkan praktik dan meningkatkan konsentrasi).
Tentukanlah ∫ x 3 e ͯ dx
= e ͯ [ x 3 - 3x2 +6x -6 ]
Iⁿ = x ⁿ e ͯ - n.I ⁿ -1
n = 3 I 3 = x3 e ͯ - 3. I 2
n = 2 I 2 = x2 e ͯ - 2. I 1
n = 1 I 1 = x e ͯ - 1. I 0
dan I 0 = ∫ x 0 e ͯ dx = ∫ e ͯ dx = e ͯ + C
I 3 = x3 e ͯ - 3. I 2
= x3 e ͯ - 3[ x2 e ͯ + 2. I 1]
= x3 e ͯ - 3[ x2 e ͯ - 2 (x e ͯ -1. I 0 )]
= x3 e ͯ - 3[ x2 e ͯ - 2 (x e ͯ - [e ͯ + C1] )]
= x3 e ͯ - 3x2e ͯ + 6 xeͯ - 6 eͯ - 6 C1
= e ͯ [x3 - 3x2 + 6 x - 6 ] + C
6
Sekarang marilah mencoba untuk mencari rumus reduksi dari integral berikut ∫ xn cos x dx
I n = xn sin x + n x n-1 cos– n ( n x - 1 ) ∫ x n-2 cos x dx
I n = ∫ xn cos x dx
= xn ( sin x ) - n ∫ sin x xn-1 dx
= xn sin x - n ∫ xn-1 sin x dx
Integral tersebut belum merupakan rumus reduksi. Sehingga kita terapkan integral per bagian
I n = xn sin x - n ∫ xn-1 sin x dx
= xn sin x - n . . . . . . . . .
I n = xn sin x + n x n-1 cos x – n ( n - 1 ) ∫ x n-2 cos x dx
Sekarang Anda akan melihat bahwa integral ∫ x n-2 cos x dx sama dengan integral ∫ xn cos x dx, namun dengan n diganti oleh . . . . . . .
n - 2
artinya I n = xn sin x + n x n-1 cos x – n ( n - 1 ). I n – 2
7
Tentukanlah ∫ x2 cos x dx
I 2 = x2 sin x + 2x cos x – 2.1 I0
Substitusikan n = 2
Sekarang I0 = ∫ x0 cos x dx = ∫ cos x dx = sin x + C1
Sehingga I2 = x2 sin x + 2x cos x – 2 sin x + C
8
Tentukanlah rumus reduksi untuk ∫ xn sin x dx
In = - xn cos x + nx sin x – n ( n – 1 ) In -2
Gunakanlah metode intgrasi- per- bagian :
In = ∫ xn sin x dx
= xn ( cos x ) + n ∫ cos x xn-1 dx
= - xn cos x + n { xn-1 ( sin x ) – ( n – 1 ) ∫ sin x xn-2 dx }
= - xn cos x + nxn-1 sin x – n( n – 1 ) In -2
9
I1 = - x cos x + sin x +C1
Carilah intgral dari ∫ x3 sin x dx
Dengan mensubstitusikan n = 3, I3 = - x3 cos x + 3x2 sin x – 3.2 I1
Dan kemudian I1 = ∫ x sin x dx
= . . . . . . . . . . .
Sehingga, I3 = - x3 cos x + 3x2 sin x – 6 I1
I3 = - x3 cos x + 3x2 sin x + 6 x cos x - 6 sin x + C
10
Tentukanlah ∫0π xn cos x dx
Jika I n = ∫ xn cos x dx,maka
I n = xn sin x + n x n-1 cos x – n ( n - 1 ) In -2
Jika kita sekarang menyatakan I n = ∫0π xn cos x dx, maka kita harus memasukkan batas – batasnya ke dalam hasil di ruas kanan :
I n = [ xn sin x + n x n-1 cos x]0π
I n = [ 0 + n π n - 1 ( -1 )]-[ 0 + 0 – n ( n - 1) In -2
I n = - n π n – 1 – n ( n - 1) In -2
11
Carilah integral I n = ∫0π x4 cos x dx, dengan mensubstitusikan n = 4, maka
I 4 = - 4π 3 – 4.3 I2
Dan substitusikan n = 2 untuk mencari I 2 , yaitu I 2
I 2 = - 2π – 2.1 I0
Dan I 0 = ∫0π x0 cos x dx = ∫0π cos x dx = [ sin x ] 0π = 0
Sehingga kita peroleh I 4 = - 4π 3 – 12 I2
I 2 = - 2π – 2 I0
∫0π x4 cos x dx = I 4 = - 4π 3 + 24 π
12
Hitunglah ∫0π x5 cos x dx
I 5 = - 5π 4 + 60 π2 – 240
Sehingga :
I n = - n π n – 1 – n ( n - 1) In -2
I 5 = - 5π 4 – 5.4 I3
I 3 = - 3π 2 – 3.2 I1
Dan I 1 = ∫0π x cos x dx [ (x sin x) ] 0π - ∫0π sin x dx
= [0 - 0] – [ - cos x ] 0x = [ cos x ] 0x = ( -1 ) – ( 1) = -2
I 5 = - 5π 4 – 5.4 I3
I 3 = - 3π 2 – 3.2 I1
I 5 = - 5π 4 + 60π 2 - 240
Rumus – rumus reduksi untuk (a) ∫ sinn x dx dan (b) ∫ cosn x dx
(a) ∫ sinn x dx
Misalkan I n = ∫ sinn x dx = ∫ sinn-1 x. sin x dx = ∫ sinn-1 x. d(- cos x) dx maka, integral per – bagian akan menghasilkan :
I n = sinn-1 x.(- cos x) + ( n – 1 ) ∫ cos x.sin n-2 x . cos x dx
= - sinn-1 x. cos x + ( n – 1 ) ∫ cos 2 x.sin n-2 x dx
= - sinn-1 x. cos x + ( n – 1 ) ∫ ( 1 - sin 2 x ).sin n-2 x dx
= - sinn-1 x. cos x + ( n – 1 ) { ∫ sin n-2 x dx - ∫ sin n x dx }
= - sinn-1 x. cos x + ( n – 1 ) I n-2 - ( n – 1 ) I n
Pindahkan suku di ruas kanan ke ruas kiri, maka kita akan memperoleh :
n. I n= - sinn-1 x. cos x + ( n – 1 )I n-2
dan akhirnya, jika I n = ∫ sinn x dx, maka I n = - (1/n) sinn-1 x cos x + (n-1)/n. I n-2
13
Tentukanlah ∫ sin6 x dx
I6 = - (1/6) sin5 x. cos x - (5/24) sin3 x. cos x –(5/16) sin x. cos x + (5x/16) + C
I6 = - (1/6) sin5 x. cos x + (5/6).I4
I4 = - (1/4) sin3 x. cos x + (3/4).I2
I2 = - (1/2) sin x. cos x + (1/2).I0 I0 = ∫ dx = x + C0
I6 = - (1/6) sin5 x. cos x + (5/6) [-(1/4) sin3 x. cos x + (3/4) .I2 ]
= - (1/6) sin5 x. cos x - (5/24) sin3 x. cos x + (5/8) [ - (1/2) sin x. cos x + x/2 ] + C
= - (1/6) sin5 x. cos x - (5/24) sin3 x. cos x - (5/16) sin x. cos x + (5x/16) + C
14
(b) ∫ cosn x dx
In = ∫ cosn x dx = cos n -1 x. cos x dx = cosn-1 x d (sin x)
= ∫ cosn-1 x.sin x - ( n - 1) ∫ sin x. cos n-2 x.(- sin x ) dx
= cosn-1 x. sin x - ( n - 1) ∫ sin x. cos n-2 x.(- sin x ) dx
= cosn-1 x. sin x + ( n - 1) ∫ sin 2 x. cos n-2 x. dx
= cosn-1 x. sin x + ( n - 1) ∫ ( 1 - cos2x ). cos n-2 x dx
= cosn-1 x. sin x + ( n - 1) { ∫ cosn-2 x - ∫ cos n x dx},sehingga
In = (1/n) cos n-1 x.sin x + (n-1)/n. In-2
15
Carilah integral dari ∫ cos5 x dx
∫ cos5 x dx = (1/5) cos 4 x.sin x +(4/15) cos 2 x.sin x +(8/15) sin x + C
Inilah penyelesaiannya :
I5 = (1/5) cos 4 x.sin x + (4/5)I3
I3 = (1/3) cos 2 x.sin x + (2/3)I1 dan
I1 = ∫cos x dx = sin x + C1
I5 = (1/5) cos 4 x.sin x + (4/5) [ (1/3) cos 2 x.sin x + (2/3) sin x ] + C
= (1/5) cos 4 x.sin x + (4/15) cos 2 x.sin x + (8/15) sin x + C
Integral ∫ sin x dx dan integral ∫ cosn x dx dengan batas – batas x = 0 dan x = π/2,
Kita sudah mengetahui rumus reduksi :
∫ sin x dx = In = - (1/n) sinn-1 x. cos x + (n-1)/n. In-2
Dengan memasukkan bats-batasnya :
In = [- (1/n) sinn-1 x. cos x ] 0π/2 + (n-1)/n. In-2
= [0 - 0] + (n-1)/n. In-2
In = (n-1)/n. In-2
Dan jika Anda melakukan proses yang sama dengan rumus reduksi untuk ∫ cosn x dx.
Anda akan mendapat hasil yang persis sama.
Jadi untuk ∫0π/2 sin n x dx dan ∫0π/2 cos n x dx kita akan memperoleh :
In = (n-1)/n. In-2
Selain itu :
(a) Jika n genap, maka pad akhirnya rumus akan tereduksi menjadi I0
Yaitu ∫0π/2 1 dx = [x] 0π/2 = - (- 1) = I1 = 1
Sekarang, hitunglah ∫0π/2 sin 5 x dx
I5 = (4/5).(2/3).1 = 8/15
Karena
I5 = (4/5). I3
I3 = (2/3). I1 dan I1 = 1
I5 = (4/5).(2/3).1 = 8/15
Dengan cara yang sama, hitunglah ∫0π/2 cos 6 x dx
I6 = (5π/32)
I6 = (5/6). I4
I4 = (3/2). I2
I2 = (1/2). I0 dan I0 = ( π/2)
I6 = (5/6).(3/2). ( π/2) = (5π/32)
Catatan!!!
Semua bilangan asli dari n sampai 1 muncul secara bergantian di bawah dan atas dari pernyataantersebut. Sebenarnya, jika kita mulai menuliskan bilangan – bilangan ini dengan nilai n ditempatkan pada bagian bawah, kita akan memperoleh hasilnya tanpa bersusah payah.
(n-1)/n . (n-3)/(n-2) . (n-5)/(n-4). . . /. . .dst.
Jika n ganjil,faktor-faktornya akan berakhir dengan 1 di bawah
Sebagai contoh (6.4.2)/(7.5.3.1) dan itu adalah hasilnya.
Jika n genap, faktor 1 muncul di atas dan kemudian kita kalikan dengan faktor π/2.
Sebagai contoh (7.5.3.1. π ) / (8.6.4.2.2)
Jadi,
(a) ∫0π/2 sin 4 x dx =. . . . . . . . . .
(b) ∫0π/2 cos 5 x dx =. . . . . . . . . .
∫0π/2 sin 4 x dx = (3π/16), ∫0π/2 cos 5 x dx = 8/15
Rumus tersebut dikenal dengan sebuta rumus wallis.
16
8/105
Tentukan ∫0π/2 sin 5 x. cos 2 x dx = ∫0π/2 sin 5 x(1- sin 2 x) dx
= ∫0π/2 ( sin 5 x - sin 7 x) dx
= I5 - I7
= . . . . . . . . .
I5 = (4/5).(2/3).1 = 8/15
I7 = (6.4.2/7.5.3.1) = 16/35
= I5 - I7
= 8/15 - 16/35
= 8/105
Share on Facebook Share on Twitter Share on Google+ Share on LinkedIn
0 komentar:
Posting Komentar